Парадоксът на рождения ден

Ето ви задача: Колко голяма трябва да е една група от хора, за да има 50% вероятност поне двама от тях да споделят общ рожден ден? Отговорът може да ви изненада.

В статистиката този въпрос е известен като „проблем на рождения ден“ или „парадокс на рождения ден“. Когато се замислят над него, много хора интуитивно предполагат, че отговорът е 183, тъй като това е половината от всички възможни рождени дни в година с 365 дни. За съжаление, интуицията често не се справя добре с този вид статистически проблеми.

„Обичам подобни задачи. Те илюстрират как хората по принцип не са добри във вероятностите, което ги кара да взимат неправилни решения или да правят погрешни заключения. Освен това показват колко полезна може да бъде математиката за подобряване на живота ни“, казва пред Live Science Джим Фрост, статистик с три издадени книги.

За да изчисли отговора на парадокса на рождения ден, Фрост залага няколко условия. Първо пренебрегва високосните години, тъй като това опростява сметките, а не променя съществено резултатите. Също така приема, че всички рождени дни имат еднакъв шанс да се случат.

Да започнем с група от двама души. Шансът първият човек да не е роден на една дата с втория е 364/365. Следователно вероятността те да имат общ рожден ден е 1 – (364/365) или 0,27%.

Ако приемем, че групата се състои от трима души, първите двама покриват две дати. Това означава, че вероятността третият човек да няма общ рожден ден с тях е 363/365. Следователно вероятността всички те да имат общ рожден ден е 1 минус произведението от (364/365) и (363/365) или около 0,82%.

Колкото повече хора има в една група, толкова по-голяма е вероятността поне една двойка да споделя рожден ден. При 23 души вероятността е 50,73%, отбелязва Фрост. При 57 души е 99%.

Защо мнозина не успяват да разрешат парадокса на рождения ден?

Няколко са причините, поради които отговорът на парадокса на рождения ден противоречи на интуицията. Една от тях е, че хората може несъзнателно да изчисляват какви са шансовете някой друг в групата да има техния рожден ден, а не дали по принцип има двама с общ рожден ден, посочва Фрост.

„Но най-важното е, че хората значително подценяват колко бързо нараства вероятността наред с размера на групата. Броят на възможните двойки се увеличава експоненциално с броя членове на групата. А на хората им е много трудно да разбират експоненциалния растеж“, допълва той.

Парадоксът на рождения ден е концептуално свързан с друг проблем на експоненциалния растеж. „В замяна на някаква услуга, да предположим, че ви предложат да ви платят 1 цент на първия ден, 2 цента на втория ден, 4 цента на третия, 8 цента, 16 цента и така нататък в продължение на 30 дни“, казва Фрост. „Това добра сделка ли е? Повечето хора смятат, че е лоша сделка, но благодарение на експоненциалния растеж на 30-ия ден ще имате общо 10,7 милиона долара.“

Източник: LiveScience.com

Снимка: Unsplash